Fungsi

Hai, kak Gabi disini. Blog ini dibuat untuk membantu kalian para murid SMA mempelajari materi fungsi komposisi dan invers. Mungkin kalian sudah pernah mendapatkan materi fungsi di SMP, tapi di SMA materi fungsi yang dipelajari akan dibasa lebih dalam lagi.

Yuk, langsung aja kita mulai belajarnya!

PENGERTIAN FUNGSI

Bila sebuah fungsi memiliki Domain A dan Kodomain B, maka dapat ditulis 𝑓:𝐴→𝐵⁤. Dengan itu maka, fungsi adalah pemetaan seluruh anggota A ke anggota B sehingga meghasilkan Range.

Fungsi juga memiliki beberapa syarat, antara lain:

1. Seluruh anggota A harus memiliki satu pasangan dengan anggota B
2. Seluruh anggota A tidak boleh memiliki lebih dari satu pasangan dengan anggota B

Mungkin dari kalimat-kalimat diatas sudah ada beberapa istilah yang baru pertama kali dibaca. Beberapa istilah penting yang harus diketahui artinya dalam materi ini adalah:

a.    Domain adalah daerah asal. Dinotasikan (D_f)
b.    Kodomain adalah daerah kawan. Dinotasikan (K_f)
c.    Range adalah daerah hasil. Dinotasikan (R_f)

Nah, kalau sudah mengerti apa itu fungsi, sekarang kita lanjut ke jenis-jenis fungsi.

JENIS-JENIS FUNGSI

Sekarang kita akan mulai masuk ke jenis-jenis fungsi. Dalam matematik sering dijumpai berbagai macam fungsi, diantaranya mempunyai ciri-ciri yang khusus/khas. Fungsi juga dibagi menjadi beberapa kelompok tertentu.

A.    Fungsi Khusus

1.      Fungsi Konstan

Suatu fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 disebut fungsi konstan, apabila setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama. Formula fungsi konstan ditentukan oleh:

𝑓(𝑥) = 𝑘, dengan x ∈ 𝑅 dan k merupakan sebuah konstanta atau nilai tetap.

2.      Fungsi Identitas

Fungsi 𝑓:𝐴→𝐴 dengan A sembarang himpunan tidak kosong yang ditentukan oleh formula:

𝑓(𝑥) = 𝑥, yaitu setiap anggota A dipetakkan kepada dirinya sendiri. 

Fungsi identitas dinotasikan sebagai I

3.      Fungsi Linear

Fungsi linear adalah suatu fungsi 𝑓:𝑅→𝑅 yang didefinisikan dengan:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+𝑏, dengan a dan b konstanta dan a ≠ 0.

4.      Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi 𝑓:𝑅→𝑅 yang didefinisikan dengan:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐, dengan a,b dan c konstanta (a ≠ 0).

5.      Fungsi Modulus
Modulus atau nilai mutlak suatu bilangan real dinyatakan dengan ⎥𝑥⎥, dan 

Suatu fungsi f yang didefinisikan dengan:

𝑓(𝑥) = ⎥𝑥⎥, yang memasangkan bilangan real dengan nilai mutlaknya, sehingga disebut fungsi modulus.

6.      Fungsi Tangga

Nilai bulat terbesar dari x dinotasikan dengan ⟦𝑥⟧ yang ditentukan oleh formula:

⟦𝑥⟧ = n, jika dan hanya jika n ≤ 𝑥 < n + 1 dengan n bilangan bulat.

Fungsi nilai bulat terbesar dinotasikan dengan y = ⟦𝑥⟧  untuk semua nilai x dalam domain.

7.      Fungsi Genap

Suatu fungsi y = f(x) disebut fungsi genap apabila 𝑓(𝑥) = 𝑓(-𝑥) untuk semua bilangan real x ∈ D_f

contoh: Tunjukkan bahwa setiap fungsi di bawah ini merupakan fungsi genap!
a. f(x) = x² ; x  ∈ R                              b. f(x) = ⎥𝑥⎥ ; x  ∈ R


8.      Fungsi Ganjil

Suatu fungsi y = f(x) disebut fungsi ganjil apabila -𝑓(𝑥) = 𝑓(-𝑥) untuk semua bilangan real x ∈ D_f 
contoh: Tunjukkan bahwa setiap fungsi di bawah ini merupakan fungsi ganjil!
a. f(x) = x³ ; x  ∈ R                              b. f(x) = 1/x ; x  ∈ R

B.    Pengelompokan Fungsi

1.      Fungsi Surjektif

Fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 dapat disebut fungsi surjektif atau fungsi onto apabila setiap anggota B mempunyai sebuah pasangan dengan anggota A atau anggota B boleh memiliki lebih dari satu pasangan dengan anggota A.
contoh:Fungsi-fungsi berikut ini adalah fungsi-fungsi dari himpunan A ={a, b, c, d} ke B = {x, y, z} yang didefinisikan dalam diagram panah. Manakah yang merupakan fungsi  kepada B dan manakah yang merupakan fungsi dalam B?

 

Jawab: (a) merupakan fungsi surjektif atau fungsi kepada B karena memenuhi syarat, sedangkan (b) adalah fungsi ke dalam B atau fungsi into karena anggota B ada yang tidak memiliki pasangan.
 

2.      Fungsi Injektif

Fungsi  𝑓:𝐴→𝐵 dapat disebut fungsi injektif apabila seluruh anggota B hanya memiliki satu pasangan dengan anggota A atau anggota B boleh tidak memiliki pasangan dengan anggota A.
 contoh: Manakah yang merupakan fungsi injektif dari setiap fungsi f : A→B yang disajikan dengan diagram panah berikut ini?

 

Jawab: (a) merupakan bukanlah fungsi injektif karena anggota pada B ada yang memiliki dua pasangan , sedangkan (b) adalah fungsi injektif karena memenuhi syarat.

  

3.      Fungsi Bijektif

Fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 dapat disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus fungsi injektif. Sehingga syarat lain fungsi surjektif adalah setiap anggota A hanya berpasangan dengan satu anggota B dan begitu juga sebaliknya.

contoh: Dari fungsi-fungsi yang disajikan  dengan diagram panah berikut ini, manakah yang merupakan fungsi bijektif?

Jawab:
a. f : A → B, merupakan fungsi surjektif dan bukan merupakan fungsi injektif. Jadi f bukan fungsi bijektif.
b. g : A → B, merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Jadi g adalah fungsi bijektif.
c. h : A → B, merupakan fungsi injektif dan bukan merupakan fungsi surjektif. Jadi h bukan fungsi bijektif.
d. k : A → B, merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Jadi k adalah fungsi bijektif.
 
Kalau kalian membaca materi ini sungguh-sungguh, maka hal-hal yang kalian pelajari dari posting ini adalah:

1.      Pengertian fungsi

2.      Syarat-syarat sebuah fungsi

3.      Jenis-jenis khusus fungsi dan pengertiannya

4.      Pengelompokan fungsi